Дайте развернутый ответ. Решите неравенство 15^x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 -------------------------- >= 0. -x^2 + 2x

Решение:

Заданное неравенство:

\[ \frac{15^x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15}{-x^2 + 2x} \ge 0 \]

Преобразуем числитель:

\[ 15^x - 3^{x+1} - 5^{x+1} + 15 = (3 \cdot 5)^x - 3 \cdot 3^x - 5 \cdot 5^x + 15 \]

Это выражение не раскладывается на множители просто так. Давайте попробуем представить $$15^x$$ как $$3^x · 5^x$$.

\[ 3^x \cdot 5^x - 3 \cdot 3^x - 5 \cdot 5^x + 15 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ (3^x \cdot 5^x - 3 \cdot 3^x) - (5 \cdot 5^x - 15) \]

Вынесем общие множители:

\[ 3^x (5^x - 3) - 5 (5^x - 3) \]

Теперь можно вынести общий множитель \( (5^x - 3) \):

\[ (3^x - 5)(5^x - 3) \]

Преобразуем знаменатель:

\[ -x^2 + 2x = -x(x - 2) \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{-x(x - 2)} \ge 0 \]

Чтобы избавиться от минуса в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

\[ \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{x(x - 2)} \le 0 \]

Найдем корни числителя и знаменателя:

• $$3^x - 5 = 0 \Rightarrow 3^x = 5 \Rightarrow x = \log_3 5$$
• $$5^x - 3 = 0 \Rightarrow 5^x = 3 \Rightarrow x = \log_5 3$$
• $$x = 0$$
• $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Отметим эти точки на числовой оси. Приблизительные значения:

• $$\log_3 5 \approx 1.465$$
• $$\log_5 3 \approx 0.683$$

Точки на оси:

$$0, \ \log_5 3, \ \log_3 5, \ 2$$

Определим знаки интервалов для выражения \( \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{x(x - 2)} \le 0 \).

• Интервал $$(-\infty, 0)$$: возьмем $$x = -1$$. \( \frac{(3^{-1} - 5)(5^{-1} - 3)}{-1(-1 - 2)} = \frac{(\frac{1}{3} - 5)(\frac{1}{5} - 3)}{-1(-3)} = \frac{(-\frac{14}{3})(-\frac{14}{5})}{3} > 0 \)
• Интервал $$(0, \log_5 3)$$: возьмем $$x = 0.5$$. \( \frac{(3^{0.5} - 5)(5^{0.5} - 3)}{0.5(0.5 - 2)} = \frac{(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{5} - 3)}{0.5(-1.5)} \). \(\sqrt{3} < 5\), \(\sqrt{5} < 3\). Числитель отрицательный. Знаменатель отрицательный. Отношение положительное.
• Интервал $$(\log_5 3, \log_3 5)$$: возьмем $$x = 1$$. \( \frac{(3^1 - 5)(5^1 - 3)}{1(1 - 2)} = \frac{(3 - 5)(5 - 3)}{1(-1)} = \frac{(-2)(2)}{-1} = 4 > 0 \)
• Интервал $$(\log_3 5, 2)$$: возьмем $$x = 1.5$$. \( \frac{(3^{1.5} - 5)(5^{1.5} - 3)}{1.5(1.5 - 2)} = \frac{(3\sqrt{3} - 5)(5\sqrt{5} - 3)}{1.5(-0.5)} \). \(3\sqrt{3} ± 5.196 \). \(5\sqrt{5} ± 11.18 \). Числитель положительный. Знаменатель отрицательный. Отношение отрицательное.
• Интервал $$(2, \infty)$$: возьмем $$x = 3$$. \( \frac{(3^3 - 5)(5^3 - 3)}{3(3 - 2)} = \frac{(27 - 5)(125 - 3)}{3(1)} = \frac{22 \cdot 122}{3} > 0 \)

Нам нужны интервалы, где выражение $$\le 0$$. Это интервалы $$(\log_5 3, \log_3 5)$$ и $$(\log_3 5, 2)$$.

Однако, нам нужно внимательно посмотреть на знаки. Корни числителя \( \log_5 3 \) и \( \log_3 5 \) включаются в решение (так как неравенство $$\le 0$$). Корни знаменателя \( 0 \) и \( 2 \) не включаются.

Перерисуем знаки:

Числитель \( (3^x - 5)(5^x - 3) \): $$3^x - 5$$ становится положительным после $$\log_3 5$$, $$5^x - 3$$ становится положительным после $$\log_5 3$$. Оба положительны после $$\log_3 5$$. Отрицательны до $$\log_5 3$$. Между $$\log_5 3$$ и $$\log_3 5$$ один положительный, один отрицательный, значит числитель отрицателен.

Знаменатель \( x(x - 2) \): положительный до 0, отрицательный между 0 и 2, положительный после 2.

Исходное неравенство \( \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{-x(x - 2)} \ge 0 \) эквивалентно \( \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{x(x - 2)} \le 0 \).

Рассмотрим знаки \( \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}} \le 0 \):

• $$(-\infty, 0)$$: Числитель (+), Знаменатель (+). Дробь (+).
• $$(0, \log_5 3)$$: Числитель (-), Знаменатель (-). Дробь (+).
• $$(\log_5 3, \log_3 5)$$: Числитель (-), Знаменатель (-). Дробь (+).

Ошибка в предыдущем анализе. Проверим знаки для \( \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{x(x - 2)} \le 0 \).

• Интервал $$(-\infty, 0)$$: $$x=-1$$. \( (3^{-1}-5)(5^{-1}-3) = (-\frac{14}{3})(-\frac{14}{5}) > 0 \). $$x(x-2) = (-1)(-3) > 0$$. Дробь > 0.
• Интервал $$(0, \log_5 3)$$: $$x=0.5$$. \( (3^{0.5}-5)(5^{0.5}-3) < 0 \). $$x(x-2) = 0.5(-1.5) < 0$$. Дробь > 0.
• Интервал $$(\log_5 3, \log_3 5)$$: $$x=1$$. \( (3-5)(5-3) = (-2)(2) < 0 \). $$x(x-2) = 1(-1) < 0$$. Дробь > 0.
• Интервал $$(\log_3 5, 2)$$: $$x=1.5$$. \( (3^{1.5}-5)(5^{1.5}-3) > 0 \). $$x(x-2) = 1.5(-0.5) < 0$$. Дробь < 0.
• Интервал $$(2, \infty)$$: $$x=3$$. \( (3^3-5)(5^3-3) > 0 \). $$x(x-2) = 3(1) > 0$$. Дробь > 0.

Итак, неравенство \( \frac{(3^x - 5)(5^x - 3)}{x(x - 2)} \le 0 \) выполняется на интервале $$(\log_3 5, 2)$$.

Учитывая, что числитель обращается в ноль при $$x = \log_5 3$$ и $$x = \log_3 5$$, эти точки включаются в решение.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $$x
e 0$$ и $$x
e 2$$. Точка $$x=2$$ уже не включается.

Таким образом, решение будет:

\[ [\log_5 3; \log_3 5] \cup (\log_3 5, 2) \]

Это можно объединить в один интервал:

\[ [\log_5 3; 2) \]

Проверим себя:

Если $$x = \log_5 3$$, то $$5^x = 3$$, $$3^x = 3^{\log_5 3} = (5^{\log_5 3})^{\frac{\log_3 3}{\log_5 3}} = 5^{\log_5 3 \cdot \frac{1}{\log_5 3}} = 5^1 = 5$$? Нет.

$$3^x = 3^{\log_5 3} = (5^{\log_5 3})^{\frac{\log_3 3}{\log_5 3}}$$ - это некорректно.

$$3^x = 3^{\log_5 3}$$.

При $$x = \log_5 3$$: $$3^{\log_5 3} - 5$$ (отрицательно), $$5^{\log_5 3} - 3 = 3 - 3 = 0$$. Значит числитель равен 0. Знаменатель $$x(x-2) = \log_5 3(\log_5 3 - 2)$$. Так как $$\log_5 3 < 1$$, то $$\log_5 3 - 2 < 0$$. Знаменатель отрицателен. $$0 / (-) = 0$$. Значит $$x = \log_5 3$$ является решением.

При $$x = \log_3 5$$: $$3^{\log_3 5} - 5 = 5 - 5 = 0$$. Числитель равен 0. Знаменатель $$\log_3 5(\log_3 5 - 2)$$. $$\log_3 5 > \log_3 3 = 1$$. $$\log_3 5 < \log_3 9 = 2$$. Значит $$\log_3 5 - 2 < 0$$. Знаменатель отрицателен. $$0 / (-) = 0$$. Значит $$x = \log_3 5$$ является решением.

Таким образом, интервал $$(\log_3 5, 2)$$ и точки $$\log_5 3$$, $$\log_3 5$$ являются решениями.

Объединяем: $$[\]\log_5 3; 2)$$

Важно: Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $$x \neq 0$$ и $$x \neq 2$$. Точка $$2$$ не входит в интервал.

Ответ: $$[ \log_5 3; 2 )$$