Дайте развернутый ответ. Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК = 11.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( \angle B \) и высотой \( BH \) к гипотенузе \( AC \). Точки \( P \) и \( K \) лежат на сторонах \( AB \) и \( BC \) соответственно. Окружность с диаметром \( BH \) проходит через точки \( P \) и \( K \). Угол \( \angle BPH \) и \( \angle BKH \) являются вписанными и опираются на диаметр \( BH \), поэтому они равны \( 90^° \). Таким образом, \( \angle BPH = \angle BKH = 90^° \).

Рассмотрим четырёхугольник \( BPKH \). Сумма его углов равна \( 360^° \). Углы \( \angle BPH = 90^° \) и \( \angle BKH = 90^° \). Угол \( \angle PBK \) равен \( \angle ABC = 90^° \).

В четырёхугольнике \( BPKH \) сумма углов \( \angle BPH + \angle BKH + \angle PBK = 90^° + 90^° + 90^° = 270^° \). Значит, \( \angle PHK = 360^° - 270^° = 90^° \).

Таким образом, четырёхугольник \( BPKH \) является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны. Диагонали \( BK \) и \( PH \) равны. Также диагонали \( BH \) и \( PK \) равны.

По условию \( PK = 11 \). Так как \( BH = PK \), то \( BH = 11 \).

Ответ: 11.