Дайте развернутый ответ. Постройте график функции { x² + 6x + 7 при x ≥ - 4, y = { x + 10 при x < - 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Шаг 1: Анализ первой части функции (параболы)

Рассмотрим функцию \( y = x^2 + 6x + 7 \) при \( x \ge -4 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы.

Координата x вершины параболы: \[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \]

Координата y вершины параболы: \[ y_в = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \]

Итак, вершина параболы имеет координаты \( (-3, -2) \). Так как \( x \ge -4 \), эта вершина находится в рассматриваемом интервале.

Шаг 2: Анализ второй части функции (прямой)

Рассмотрим функцию \( y = x + 10 \) при \( x < -4 \). Это прямая линия. Найдем значение этой функции при \( x = -4 \).

Значение функции: \[ y = -4 + 10 = 6 \]

Таким образом, при \( x \to -4 \) значение функции стремится к 6. Точка \( (-4, 6) \) является точкой разрыва графика функции.

Шаг 3: Определение точек пересечения и касания

Прямая \( y = m \) будет иметь ровно две общие точки с графиком функции, если она:

• Касается параболы в ее вершине.
• Проходит через точку разрыва.

В первом случае, \( m \) равно координате y вершины параболы: \[ m = -2 \]

Но необходимо проверить, сколько точек пересечения будет при таком значении m. Так как \( x \ge -4 \), значение -2 достигается только в вершине параболы. Прямая \( y = -2 \) пересекает прямую \( y = x + 10 \) при \( x = -12 \), что не входит в область определения \( x < -4 \). Следовательно, это значение не подходит.

Рассмотрим случай, когда прямая \( y = m \) проходит через точку разрыва. В этом случае, \( m \) равно значению функции \( y = x + 10 \) при \( x \to -4 \): \[ m = 6 \]

В этом случае прямая \( y = 6 \) пересекает параболу в двух точках, так как \( 6 > -2 \) (вершина параболы). Также, при \( x < -4 \), функция \( y = x + 10 \) принимает значение, стремящееся к 6, но не равно ему, поэтому это не влияет на количество точек пересечения.

Теперь найдем значение \( m \), при котором прямая \( y = m \) касается параболы. Для этого найдем значение \( y \), при котором дискриминант уравнения \( x^2 + 6x + 7 = m \) равен нулю:

\[ x^2 + 6x + 7 - m = 0 \]

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - m) = 36 - 28 + 4m = 8 + 4m \]

Приравняем дискриминант к нулю: \[ 8 + 4m = 0 \]

\[ 4m = -8 \]

\[ m = -2 \]

Как уже выяснили, данный случай нам не подходит.

Далее необходимо найти такое значение m, когда есть ровно две точки пересечения

Вершина параболы (-3, -2)

y = x + 10 при x = -4, y = 6

y = 6, если x < -4

y = x^2 + 6x + 7, если x >= -4

Составим уравнение:

x^2 + 6x + 7 = m

x^2 + 6x + (7 - m) = 0

D = 36 - 4 * (7 - m) = 36 - 28 + 4m = 8 + 4m

8 + 4m > 0, m > -2

Чтобы прямая y = m пересекала функцию только 1 раз, то она должна проходить через точку x = -4, y = 6

Чтобы доказать это, приравняем 6 = m

x^2 + 6x + 7 = 6

x^2 + 6x + 1 = 0

D = 36 - 4 = 32

x1 = (-6 + корень(32)) / 2 = (-6 + 4 * корень(2)) / 2 = -3 + 2 * корень(2) ~ -0.17

x2 = (-6 - корень(32)) / 2 = (-6 - 4 * корень(2)) / 2 = -3 - 2 * корень(2) ~ -5.82

Поскольку x2 < -4, следовательно он не входит в область определения