Дайте развернутый ответ. Постройте график функции y = { x²+6x+7 при x≥-4, x+10 при x<-4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = 11 и m = 2

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдём вершину параболы.
• Парабола задана уравнением \[y = x^2 + 6x + 7\] при \[x \ge -4\].
• Координата x вершины параболы: \[x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(1)} = -3\]
• Координата y вершины параболы: \[y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2\]
• Итак, вершина параболы имеет координаты (-3, -2).
• Шаг 2: Проверим, принадлежит ли вершина заданной области.
• Так как \[x = -3 \ge -4\], вершина параболы входит в рассматриваемую область.
• Значение y в вершине параболы: \[y = -2\]
• Шаг 3: Найдём точку стыка графиков.
• Точка стыка находится при \[x = -4\].
• Для параболы: \[y = (-4)^2 + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1\]
• Для прямой: \[y = -4 + 10 = 6\]
• Так как рассматриваем случай \[x < -4\] для прямой, значение \[y = 6\] не учитываем.
• Шаг 4: Найдём значения m, при которых прямая y = m имеет две общие точки с графиком.
• Рассмотрим случай, когда прямая проходит через вершину параболы: \[m = -2\]
• При \[m = -2\] прямая пересекает параболу в вершине и прямую \[y = x + 10\] при \[x < -4\].
• Чтобы выполнялось условие задачи, прямая \[y = m\] должна проходить через точку, где \[x = -4\] для линейной функции, то есть: \[y = -4 + 10 = 6\]
• Однако, поскольку \[x < -4\] для прямой, мы должны найти предел \[y\] при \[x \to -4\]: \[\lim_{x \to -4} (x + 10) = 6\]
• Заметим, что при \[m = 6\] прямая y = m будет иметь только одну общую точку с графиком функции при \[x < -4\] и одну общую точку с параболой при \[x > -4\].
• Шаг 5: Учтем, что нужно найти такие значения m, при которых прямая y = m имеет ровно две общие точки.
• Рассмотрим случай, когда прямая y = m касается параболы и пересекает прямую y = x + 10. Для этого нужно, чтобы дискриминант уравнения x² + 6x + 7 = m был равен нулю.
• x² + 6x + 7 - m = 0
• D = 6² - 4(1)(7 - m) = 36 - 28 + 4m = 8 + 4m
• 8 + 4m = 0
• 4m = -8
• m = -2 (уже рассмотрели)
• Теперь рассмотрим случай, когда прямая y = m проходит через точку разрыва графика. Точка разрыва находится в x = -4. Значение функции в этой точке: y = -4 + 10 = 6
• Но так как x < -4, то мы не можем рассматривать эту точку как точку пересечения с прямой.
• Ветвь параболы начинается с x = -4. y = (-4)² + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1. Значит, парабола начинается с точки (-4, -1)
• Шаг 6: Анализ графика функции y = x + 10 при x < -4
• Так как x < -4, то график y = x + 10 стремится к значению 6, но не достигает его. Таким образом, при y = 6, прямая y = m не будет иметь общих точек с графиком функции y = x + 10.
• Однако, нужно учесть, что парабола y = x² + 6x + 7 при x = -4 имеет значение y = -1. Значит, если прямая y = m будет проходить через точку (-4, -1), то она будет иметь одну общую точку с параболой.
• При m = 11, x² + 6x + 7 = 11, x² + 6x - 4 = 0. D = 36 + 16 = 52 > 0. То есть, прямая y = 11 будет пересекать параболу в двух точках. При x < -4, y = x + 10 = 11, x = 1. Не подходит, так как x должно быть меньше -4.
• Шаг 7: Вычислим значение y при x = -10: y = (-10) + 10 = 0, что меньше -2. Значит, значение m должно быть выше -2.
• Шаг 8: При m = 2, x² + 6x + 7 = 2. x² + 6x + 5 = 0. (x + 1)(x + 5) = 0. x = -1 и x = -5. x = -1 > -4 (подходит). x = -5 < -4 (не подходит, так как рассматриваем x >= -4 для параболы).
• Шаг 9: Найдем такое значение m, чтобы дискриминант уравнения был равен нулю, то есть парабола касалась прямой. D = 36 - 4(7 - m) = 0. 36 - 28 + 4m = 0. 8 + 4m = 0. 4m = -8. m = -2
• Шаг 10: Рассматриваем случай, когда прямая y = m пересекает ветвь x + 10 в одной точке. x + 10 = m, x = m - 10. m - 10 < -4. m < 6

Ответ: m = 11 и m = 2