25 декабря Контрольная работа по теме «Треугольники» Вариант 1 1. Докажите равенство треугольников ABF и CBD (рис. 42), если АВ = ВС и BF = BD. Рис. 42 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны. 3. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки D и Е так, что ZACD=∠CAE. Докажите, что AD = CE. 4. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его периметр равен 98 см, а боковая сторона равна 31см. 5. Найти стороны треугольника, периметр которого 65 см, если одна из них в 3 раза меньше ругой и на 15 см больше третьей.

1. Доказательство равенства треугольников ABF и CBD.

Для доказательства равенства треугольников ABF и CBD, рассмотрим треугольники ABF и CBD.

По условию:

• AB = BC
• BF = BD

∠B общий для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники ABF и CBD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

2. Найдем стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 33 см, а основание на 3 см меньше боковой стороны.

Пусть боковая сторона равна $$x$$, тогда основание равно $$(x - 3)$$. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон.

Периметр: $$P = x + x + (x - 3) = 33$$ $$3x - 3 = 33$$ $$3x = 36$$ $$x = 12$$

Боковая сторона равна 12 см, основание равно $$12 - 3 = 9$$ см.

3. Доказательство, что AD = CE.

В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC.

Рассмотрим треугольники ACD и CAE.

• AC - общая сторона.
• ∠ACD = ∠CAE (по условию).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠BAC = ∠BCA.

∠BAD = ∠BAC - ∠CAE и ∠BCE = ∠BCA - ∠ACD. Так как ∠ACD = ∠CAE, то ∠BAD = ∠BCE.

Рассмотрим треугольники BAD и BCE.

• AB = BC (по условию)
• ∠BAD = ∠BCE (доказано выше)

Следовательно, треугольники BAD и BCE равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AD = CE.

4. Найдем основание равнобедренного треугольника, если его периметр равен 98 см, а боковая сторона равна 31 см.

Пусть основание равно $$x$$. Периметр равнобедренного треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания.

$$P = 2 cdot 31 + x = 98$$

$$62 + x = 98$$

$$x = 98 - 62$$

$$x = 36$$

Основание равно 36 см.

5. Найти стороны треугольника, периметр которого 65 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 15 см больше третьей.

Пусть первая сторона равна $$x$$, вторая сторона равна $$3x$$, а третья сторона равна $$(x - 15)$$. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон.

$$P = x + 3x + (x - 15) = 65$$

$$5x - 15 = 65$$

$$5x = 80$$

$$x = 16$$

Стороны треугольника равны:

Первая сторона: 16 см

Вторая сторона: $$3 cdot 16 = 48$$ см

Третья сторона: $$16 - 15 = 1$$ см.

Ответ: 1) доказательство в решении, 2) боковая сторона 12 см, основание 9 см, 3) доказательство в решении, 4) 36 см, 5) 16 см, 48 см, 1 см