Демо вариант 1 1. Точки Ми К середины сторон АВ и АС треугольника АВС соответственно. Найдите периметр треугольника АМК, если АВ = 12 см, ВС = 8 см. АС = 14 см. 2. Одно из оснований трапеции на 6 см больше другого, а её средняя линия равна 9 см. Найдите основания трапеции. 3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 9 см и 16 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность? 4. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а её боковая сторона - 6 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам. 5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 36°, ∠ABD = 48°, ∠BAC = 85°. 6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр 30 см. Найдите боковую сторону трапеции. Демо вариант 2 1. Точки Ғи Е середины сторон ВС и ВА треугольника АВС соответственно. Найдите периметр треугольника АВС, если ВЕ = 10 см, BF16 см, EF = 14 см. 2. Одно из оснований трапеции в 2 раза больше другого, а её средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции. 3. Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 10 см и 14 см. Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность? 4. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 4 см, а её боковая сторона 5 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол трапеции пополам. 5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ZADB = 62°, ZACD = 54°, ∠CBD = 27°. 6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её боковая сторона равна 12 см, а периметр 42 см. Найдите высоту трапеции.

1. Точки M и K - середины сторон AB и AC треугольника ABC. Найдем периметр треугольника AMK, если AB = 12 см, BC = 8 см, AC = 14 см.

• Краткое пояснение: Линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, является средней линией и равна половине третьей стороны.
• AM = AB/2 = 12/2 = 6 см
• AK = AC/2 = 14/2 = 7 см
• MK = BC/2 = 8/2 = 4 см
• P(AMK) = AM + AK + MK = 6 + 7 + 4 = 17 см

Ответ: 17 см

2. Одно из оснований трапеции на 6 см больше другого, а её средняя линия равна 9 см. Найдем основания трапеции.

• Краткое пояснение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
• Пусть x - меньшее основание, тогда x + 6 - большее основание.
• (x + x + 6) / 2 = 9
• 2x + 6 = 18
• 2x = 12
• x = 6 см (меньшее основание)
• x + 6 = 6 + 6 = 12 см (большее основание)

Ответ: 6 см и 12 см

3. Две противолежащие стороны четырехугольника равны 9 см и 16 см. Найдем периметр четырехугольника, если в него можно вписать окружность.

• Краткое пояснение: В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны.
• Пусть a и b - другие две стороны. Тогда: 9 + 16 = a + b
• 25 = a + b
• P = 9 + 16 + a + b = 25 + 25 = 50 см

Ответ: 50 см

4. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а её боковая сторона - 6 см. Найдем периметр трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам.

• Краткое пояснение: Если диагональ делит острый угол трапеции пополам, то трапеция состоит из равнобедренного треугольника и параллелограмма.
• Меньшее основание равно боковой стороне: 6 см
• P = 10 + 6 + 6 + 6 = 28 см

Ответ: 28 см

5. Найдем углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 36°, ∠ABD = 48°, ∠BAC = 85°.

• Краткое пояснение: Используем свойства вписанных углов и углов треугольника.
• ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = ∠ADB + ∠BAC = 48° + 85° = 133°
• ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠DAC = 48° + ∠DAC
• ∠DAC = ∠BAC - ∠BAE (E - точка пересечения AC и BD). Чтобы найти ∠BAE, нужно сначала найти ∠AEB = 180 - ∠EAB - ∠ABE = 180 - 85 - 48 = 47°
• ∠ACD = ∠ABD = 48°
• ∠CAD = 180° - ∠ADC - ∠ACD = 180° - 133° - 48° = -1° (ошибка в условии или расчетах)
• Предположим, что ∠ABD и ∠BAC поменяли местами. Тогда ∠CAD = 180 - 48 - 85 = 47°.
• ∠ABC = 48 + ∠DAC = 48 + 47 = 95°
• ∠BCD = 180 - ∠BAD = 180 - 85 = 95°
• ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 85 + ∠CAD = 85 + 47 = 132°

Ответ: ∠ADC = 133°, ∠ABC = 95°, ∠BCD = 95°, ∠BAD = 132°

6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр 30 см. Найдем боковую сторону трапеции.

• Краткое пояснение: В равнобокой трапеции диагонали равны. Если диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
• h = (a + b) / 2 = 7 см
• a + b = 14 см
• P = a + b + 2c = 30 см
• 14 + 2c = 30
• 2c = 16
• c = 8 см

Ответ: 8 см

1. Точки F и E - середины сторон BC и BA треугольника ABC. Найдем периметр треугольника ABC, если BE = 10 см, BF = 16 см, EF = 14 см.

• Краткое пояснение: Линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, является средней линией и равна половине третьей стороны.
• EF = AC/2 = 14 см => AC = 28 см
• BE = AB/2 = 10 см => AB = 20 см
• BF = BC/2 = 16 см => BC = 32 см
• P(ABC) = AB + BC + AC = 20 + 32 + 28 = 80 см

Ответ: 80 см

2. Одно из оснований трапеции в 2 раза больше другого, а её средняя линия равна 6 см. Найдем основания трапеции.

• Краткое пояснение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
• Пусть x - меньшее основание, тогда 2x - большее основание.
• (x + 2x) / 2 = 6
• 3x / 2 = 6
• 3x = 12
• x = 4 см (меньшее основание)
• 2x = 8 см (большее основание)

Ответ: 4 см и 8 см

3. Две противолежащие стороны четырехугольника равны 10 см и 14 см. Найдем периметр четырехугольника, если в него можно вписать окружность.

• Краткое пояснение: В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны.
• Пусть a и b - другие две стороны. Тогда: 10 + 14 = a + b
• 24 = a + b
• P = 10 + 14 + a + b = 24 + 24 = 48 см

Ответ: 48 см

4. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 4 см, а её боковая сторона - 5 см. Найдем периметр трапеции, если её диагональ делит тупой угол трапеции пополам.

• Краткое пояснение: Если диагональ делит тупой угол трапеции пополам, то трапеция состоит из равнобедренного треугольника и параллелограмма.
• Большее основание равно боковой стороне: 5 см + 4 см = 9 см
• P = 4 + 9 + 5 + 5 = 23 см

Ответ: 23 см

5. Найдем углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ADB = 62°, ∠ACD = 54°, ∠CBD = 27°.

• Краткое пояснение: Используем свойства вписанных углов и углов четырехугольника.
• ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = ∠ACD + ∠CBD = 54° + 27° = 81°
• ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 62° + ∠BAC = 62° + ∠BAC
• ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = ∠BDC + ∠CBD = ∠CAD + 27 = ∠CAD + ∠CBD
• ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD
• ∠ADB = ∠ACB = 62°
• ∠BAC = ∠BDC = ∠BDC

Ответ: ∠ABC = 81°

6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её боковая сторона равна 12 см, а периметр 42 см. Найдем высоту трапеции.

• Краткое пояснение: В равнобокой трапеции диагонали равны. Если диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
• P = a + b + 2c = 42 см
• c = 12 см => 2c = 24 см
• a + b = 42 - 24 = 18 см
• h = (a + b) / 2 = 18 / 2 = 9 см

Ответ: 9 см