Демонстрационный вариант контрольной работы № 4 по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными» Система оценивания 1,2,3 задания оцениваются в 1 балл, 4,5,6 задания оцениваются в 2 балла. Отметка по пятибалльной шкале Первичный балл «2» 0-2 «3» 3 Время на выполнение работы – 40 минут. (3 №1. Решите методом подстановки систему уравнений = x + 2y = 2, (x-3y -3. (2y + 4x = 5, №2. Решите методом сложения систему уравнений (бу – 4x = 7. №3. Решите графически систему уравнений у - х = 2, (x + y = 10. «4» 4-6 «5» 7-9 №4*. За 7 кг яблок и 3 кг груш заплатили 185 рублей. Сколько стоит килограмм яблок и сколько стоит килограмм груш, если 3 кг яблок дороже килограмма груш на 45 рублей? 2 №5*. Решите систему уравнений: 14x+7y = 5, (3x + 5y = 3; 2x (10x - 9y = 8, 2) 7xx 17x-6y 11. ay = 4, №6*. При каком значении а система уравнений (6х – бу = 12 - = имеет бесконечно много решений?

№1. Решите методом подстановки систему уравнений \[\begin{cases} x + 2y = 2, \\ x - 3y = -3. \end{cases}\]

• Выразим x из первого уравнения: x = 2 - 2y.
• Подставим это выражение во второе уравнение: (2 - 2y) - 3y = -3.
• Решим полученное уравнение относительно y: 2 - 5y = -3 ⇒ -5y = -5 ⇒ y = 1.
• Подставим найденное значение y в выражение для x: x = 2 - 2(1) = 0.

Ответ: x = 0, y = 1

№2. Решите методом сложения систему уравнений \[\begin{cases} 2y + 4x = 5, \\ 6y - 4x = 7. \end{cases}\]

• Сложим два уравнения: (2y + 4x) + (6y - 4x) = 5 + 7.
• Упростим: 8y = 12 ⇒ y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5.
• Подставим найденное значение y в первое уравнение: 2(1.5) + 4x = 5 ⇒ 3 + 4x = 5 ⇒ 4x = 2 ⇒ x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5.

Ответ: x = 0.5, y = 1.5

№3. Решите графически систему уравнений \[\begin{cases} y - x = 2, \\ x + y = 10. \end{cases}\]

• Выразим y из обоих уравнений: y = x + 2 и y = 10 - x.
• Приравняем выражения для y: x + 2 = 10 - x.
• Решим полученное уравнение относительно x: 2x = 8 ⇒ x = 4.
• Подставим найденное значение x в одно из уравнений для y: y = 4 + 2 = 6.

Ответ: x = 4, y = 6

№4*. За 7 кг яблок и 3 кг груш заплатили 185 рублей. Сколько стоит килограмм яблок и сколько стоит килограмм груш, если 3 кг яблок дороже килограмма груш на 45 рублей?

• Пусть x - стоимость килограмма яблок, y - стоимость килограмма груш.
• Составим систему уравнений: \[\begin{cases} 7x + 3y = 185, \\ 3x - y = 45. \end{cases}\]
• Выразим y из второго уравнения: y = 3x - 45.
• Подставим это выражение в первое уравнение: 7x + 3(3x - 45) = 185.
• Решим полученное уравнение относительно x: 7x + 9x - 135 = 185 ⇒ 16x = 320 ⇒ x = 20.
• Подставим найденное значение x в выражение для y: y = 3(20) - 45 = 60 - 45 = 15.

Ответ: Килограмм яблок стоит 20 рублей, килограмм груш стоит 15 рублей.

№5*. Решите систему уравнений: 1) \[\begin{cases} 4x + 7y = 5, \\ 3x + 5y = 3. \end{cases}\]

• Умножим первое уравнение на 3, а второе на -4: 12x + 21y = 15 и -12x - 20y = -12.
• Сложим два уравнения: (12x + 21y) + (-12x - 20y) = 15 - 12.
• Упростим: y = 3.
• Подставим найденное значение y в первое уравнение: 4x + 7(3) = 5 ⇒ 4x + 21 = 5 ⇒ 4x = -16 ⇒ x = -4.

Ответ: x = -4, y = 3

№5*. Решите систему уравнений: 2) \[\begin{cases} 10x - 9y = 8, \\ 7x - 6y = 11. \end{cases}\]

• Умножим первое уравнение на -2, а второе на 3: -20x + 18y = -16 и 21x - 18y = 33.
• Сложим два уравнения: (-20x + 18y) + (21x - 18y) = -16 + 33.
• Упростим: x = 17.
• Подставим найденное значение x в первое уравнение: 10(17) - 9y = 8 ⇒ 170 - 9y = 8 ⇒ -9y = -162 ⇒ y = 18.

Ответ: x = 17, y = 18

№6*. При каком значении a система уравнений \[\begin{cases} 2x - ay = 4, \\ 6x - 6y = 12 \end{cases}\] имеет бесконечно много решений?

• Разделим второе уравнение на 3: 2x - 2y = 4.
• Для того чтобы система имела бесконечно много решений, уравнения должны быть пропорциональны. Значит, a = 2.

Ответ: a = 2