Determine f'(x₀) for the following functions: 1. f(x) = x⁶, x₀ = 1/2 2. f(x) = √x, x₀ = 4 3. f(x) = √(5-4x), x₀ = 1

Решение:

1. 1. f(x) = x⁶, x₀ = 1/2

   Чтобы найти производную функции f(x) = x⁶, мы используем правило степенной функции: d/dx (xⁿ) = nxⁿ⁻¹.

   В нашем случае n = 6, поэтому производная будет:

   f'(x) = 6x6-1 = 6x5

   Теперь подставим значение x₀ = 1/2:

   f'(1/2) = 6 * (1/2)5 = 6 * (1/32) = 6/32 = 3/16
2. 2. f(x) = √x, x₀ = 4

   Сначала преобразуем функцию: f(x) = √x = x^1/2.

   Используя правило степенной функции:

   f'(x) = (1/2)x(1/2)-1 = (1/2)x-1/2 = 1 / (2√x)

   Теперь подставим значение x₀ = 4:

   f'(4) = 1 / (2√4) = 1 / (2 * 2) = 1/4
3. 3. f(x) = √(5-4x), x₀ = 1

   Для этой функции мы используем правило цепной производной (производная внешней функции, умноженная на производную внутренней функции).

   Внешняя функция: √u, где u = 5-4x. Производная внешней функции: 1/(2√u).

   Внутренняя функция: 5-4x. Производная внутренней функции: -4.

   Итак, производная f(x):

   f'(x) = (1 / (2√(5-4x))) * (-4) = -4 / (2√(5-4x)) = -2 / √(5-4x)

   Теперь подставим значение x₀ = 1:

   f'(1) = -2 / √(5 - 4*1) = -2 / √(5 - 4) = -2 / √1 = -2 / 1 = -2

Ответ: 1. 3/16, 2. 1/4, 3. -2