Determine the value of the expression. \[\frac{1 - 8^{1 - 3d}}{1 - 8^{1 - d}}\]

Дано:

• \[\frac{1 - 8^{1 - 3d}}{1 - 8^{1 - d}}\]

Решение:

Чтобы определить значение выражения, нам нужно упростить его. Заметим, что числитель является разностью кубов, где \( a = 1 \) и \( b = 8^{1 - d} \).

Формула разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

В нашем случае, числитель можно переписать как:

• \( 1 - 8^{1 - 3d} = 1 - (8^{1-d})^3 \)

Здесь \( a = 1 \) и \( b = 8^{1-d} \).

Применим формулу разности кубов:

• \( 1 - (8^{1-d})^3 = (1 - 8^{1-d})(1^2 + 1 · 8^{1-d} + (8^{1-d})^2) \)
• \( = (1 - 8^{1-d})(1 + 8^{1-d} + 8^{2(1-d)}) \)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

• \[\frac{(1 - 8^{1 - d})(1 + 8^{1 - d} + 8^{2(1 - d)})}{1 - 8^{1 - d}}\]

Сокращаем общий множитель \( (1 - 8^{1 - d}) \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( 1 - 8^{1 - d} ≠ 0 \)):

• \[ 1 + 8^{1 - d} + 8^{2(1 - d)} \]

Это и есть упрощенное выражение.

Ответ:
The value of the expression is \(1 + 8^{1 - d} + 8^{2(1 - d)}\).