4) DFK - треугольник. F8 H 30

Рассмотрим треугольник DFK. Он прямоугольный, так как угол DHF - прямой. Угол DFH равен 30°. FH = 8.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, DF = 2FH = 2 * 8 = 16.

DH - катет, прилежащий к углу 30°. Косинус угла 30° равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $$cos(30°) = \frac{DH}{DF}$$. $$DH = DF \cdot cos(30°) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$$

По теореме Пифагора $$DK = \sqrt{DF^2 - FK^2}$$. Так как $$\angle DFH = 30°$$, то $$\angle DKH = 60°$$. Значит, $$FK = DH = 8\sqrt{3}$$

Найдем сторону DK по теореме Пифагора: $$DK = \sqrt{16^2 - (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{256 - 192} = \sqrt{64} = 8$$

Периметр треугольника DFK равен сумме всех его сторон: P = DF + FK + DK. P = 16 + 8\sqrt{3} + 8 = 24 + 8\sqrt{3}

Ответ: $$P = 24 + 8\sqrt{3}$$