\(\dfrac{(4x+1)(3-6x)}{4x+12}<0\)

ОДЗ: \(4x+12\ne0\), поэтому \(x\ne-3\).

Нули числителя: \(4x+1=0\Rightarrow x=-\dfrac14\); \(3-6x=0\Rightarrow x=\dfrac12\).

Критические точки: \(-3\), \(-\dfrac14\), \(\dfrac12\). Расставляем знаки на промежутках. Дробь отрицательна на промежутках \((-3;-\frac14)\) и \((\frac12;+\\infty)\).

Точки \(-3\), \(-\dfrac14\), \(\dfrac12\) не входят: при \(x=-3\) выражение не определено, а неравенство строгое.

Ответ: \(x\in\left(-3;-\frac14\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)\).