Диагностическая работа по алгебре, 8 класс, вариант МА80101. 1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) (5+2x)(2x−5)+25; б) 4(7−2a)−(a−4)². 2. Разложите на множители: а) 3xy+3x−4y−4; б) 49n²−(3n+1)². 3. Дана функция y = 3/4 x − 5. а) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному −12. б) Найдите значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное −6. 4. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подешевел на 25%, а в ноябре ещё на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре? 5. Скорость катера в стоячей воде 15 км/ч. На путь от пристани А до пристани В по течению реки он затратил 3 ч, а на обратный путь 4,5 ч. Какова скорость течения реки?

1а. Раскроем скобки по формуле разности квадратов:

\((5+2x)(2x-5)+25=(2x)^2-5^2+25=4x^2-25+25=4x^2\).

1б. Раскроем скобки:

\(4(7-2a)-(a-4)^2=28-8a-(a^2-8a+16)=28-8a-a^2+8a-16=12-a^2\).

2а. Сгруппируем слагаемые:

\(3xy+3x-4y-4=3x(y+1)-4(y+1)=(3x-4)(y+1)\).

2б. Применим формулу разности квадратов:

\(49n^2-(3n+1)^2=(7n-3n-1)(7n+3n+1)=(4n-1)(10n+1)\).

3а. Подставим \(x=-12\):

\(y=\frac{3}{4}\cdot(-12)-5=-9-5=-14\).

3б. Подставим \(y=-6\) и найдём \(x\):

\(-6=\frac{3}{4}x-5\); \(\frac{3}{4}x=-1\); \(x=-\frac{4}{3}\).

4. После снижения на 25% цена составила \(60\cdot0.75=45\) рублей. После повышения на 20%: \(45\cdot1.2=54\) рубля.

5. Пусть \(v\) — скорость течения реки. Скорости катера по течению и против течения равны соответственно \(15+v\) и \(15-v\). Расстояния одинаковы:

\(3(15+v)=4.5(15-v)\); \(45+3v=67.5-4.5v\); \(7.5v=22.5\); \(v=3\) км/ч.

Ответ: 1а) \(4x^2\); 1б) \(12-a^2\); 2а) \((3x-4)(y+1)\); 2б) \((4n-1)(10n+1)\); 3а) \(-14\); 3б) \(-\frac{4}{3}\); 4) 54 рубля; 5) 3 км/ч.