Диагностическая работа по алгебре, 8 класс, вариант МА80102. 1. Преобразуйте в многочлен стандартного вида: а) (3+4y)(4y−3)−16y²; б) (b−6)²−(5−b)². 2. Разложите на множители: а) 4xy+8x−6y−12; б) 25m²−(2m−1)². 3. Дана функция y = 2/3 x + 4. а) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 18. б) Найдите значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 5. 4. В сентябре 1 кг огурцов стоил 50 рублей, в октябре огурцы подорожали на 15%, а в ноябре ещё на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг огурцов после подорожания в ноябре? 5. Скорость течения реки 5 км/ч. На путь от пристани А до пристани В по течению реки моторная лодка затратила 3 ч, а на обратный путь — 4,5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде?

1а. Применим формулу разности квадратов:

\((3+4y)(4y-3)-16y^2=(4y)^2-3^2-16y^2=16y^2-9-16y^2=-9\).

1б. Используем формулу разности квадратов:

\((b-6)^2-(5-b)^2=((b-6)-(5-b))((b-6)+(5-b))=(2b-11)(-1)=11-2b\).

2а. Сгруппируем слагаемые:

\(4xy+8x-6y-12=4x(y+2)-6(y+2)=(4x-6)(y+2)\).

2б. Разложим разность квадратов:

\(25m^2-(2m-1)^2=(5m-2m+1)(5m+2m-1)=(3m+1)(7m-1)\).

3а. Подставим \(x=18\):

\(y=\frac{2}{3}\cdot18+4=12+4=16\).

3б. Подставим \(y=5\):

\(5=\frac{2}{3}x+4\); \(\frac{2}{3}x=1\); \(x=\frac{3}{2}\).

4. После повышения на 15% цена стала \(50\cdot1.15=57.5\) рубля. После повышения ещё на 20%: \(57.5\cdot1.2=69\) рублей.

5. Пусть \(v\) — скорость лодки в стоячей воде. Скорости по течению и против течения равны \(v+5\) и \(v-5\). Составим уравнение равенства расстояний:

\(3(v+5)=4.5(v-5)\); \(3v+15=4.5v-22.5\); \(37.5=1.5v\); \(v=25\) км/ч.

Ответ: 1а) \(-9\); 1б) \(11-2b\); 2а) \((4x-6)(y+2)\); 2б) \((3m+1)(7m-1)\); 3а) 16; 3б) \(\frac{3}{2}\); 4) 69 рублей; 5) 25 км/ч.