5. Диагональ AC ромба ABCD равна 48, tg ∠BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Обозначим половину диагонали AC за AO. Тогда AO = AC / 2 = 48 / 2 = 24.
2. Так как tg ∠BCA = 7/24, то tg ∠BCA = BO / AO = 7/24. Значит, BO = AO * (7/24) = 24 * (7/24) = 7.
3. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник AOB прямоугольный. По теореме Пифагора AB = \( \sqrt{AO^2 + BO^2} \) = \( \sqrt{24^2 + 7^2} \) = \( \sqrt{576 + 49} \) = \( \sqrt{625} \) = 25.
4. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей: S = (1/2) * AC * BD = (1/2) * 48 * (2 * 7) = 48 * 7 = 336.
5. Также площадь ромба можно выразить через сторону и высоту: S = AB * h, где h - высота ромба. Высота ромба равна двум радиусам вписанной окружности: h = 2r. Тогда S = AB * 2r.
6. Выразим радиус: r = S / (2 * AB) = 336 / (2 * 25) = 336 / 50 = 6.72.

Ответ: 6.72