Диагональ AC ромба ABCD равна 12, а tg BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. Тогда \(AO=CO=6\), а треугольник \(BOC\) прямоугольный.

Так как \(\angle BCA=\angle BCO\), то

\[\tan \angle BCA=\frac{BO}{CO}=\frac{4}{3}.\]

Следовательно, \(BO=6\cdot\frac{4}{3}=8\). Тогда

\[BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.\]

Площадь ромба равна

\[S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{12\cdot16}{2}=96,\]

так как \(BD=2BO=16\). Полупериметр ромба равен \(p=2\cdot10=20\). Для вписанной окружности \(S=rp\), поэтому

\[r=\frac{S}{p}=\frac{96}{20}=\frac{24}{5}.\]

Ответ: \(\frac{24}{5}\).