Диагональ AC ромба ABCD равна 32, а tg∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано:

• Ромб ABCD
• AC = 32
• \[ \text{tg}\angle BCA = 0.75 \]

Найти: Радиус вписанной окружности (r)

Решение:

1. Свойства ромба: Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда AO = OC = AC/2 = 32/2 = 16.
2. Треугольник BOC:
   \[ \triangle BOC \text{ - прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.} \]
3. Вычисление BC: Мы знаем, что
   \[ \text{tg}\angle BCA = \frac{BO}{OC} \]
   Подставим известные значения:
   \[ 0.75 = \frac{BO}{16} \]
   Отсюда:
   \[ BO = 0.75 \times 16 = 12 \]
4. Вычисление гипотенузы BC: По теореме Пифагора в
   \[ \triangle BOC \]:
   \[ BC^2 = BO^2 + OC^2 \]
   \[ BC^2 = 12^2 + 16^2 \]
   \[ BC^2 = 144 + 256 \]
   \[ BC^2 = 400 \]
   \[ BC = \sqrt{400} = 20 \]
5. Площадь ромба: Площадь ромба можно вычислить двумя способами:
   
   • Через диагонали:
     \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \]
     Для этого нам нужна вторая диагональ BD. Так как диагонали делятся пополам, то BD = 2 * BO = 2 * 12 = 24.
   • Через сторону и высоту (радиус вписанной окружности):
     \[ S = a \times h \]
     Где 'a' - сторона ромба (BC), а 'h' - высота ромба. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, то есть h = 2r.
6. Равенство площадей: Приравняем два выражения для площади:
   \[ \frac{1}{2} \times AC \times BD = BC \times 2r \]
   Подставим известные значения:
   \[ \frac{1}{2} \times 32 \times 24 = 20 \times 2r \]
   \[ 16 \times 24 = 40r \]
   \[ 384 = 40r \]
7. Вычисление радиуса:
   \[ r = \frac{384}{40} = \frac{38.4}{4} = 9.6 \]

Ответ: 9.6