Диагональ AC ромба ABCD равна 8, a tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей AC и BD будет O.

Диагональ AC = 8, значит, AO = OC = 8 / 2 = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. Угол BOC = 90 градусов.

Нам дан \( \text{tg } \triangle BCA = 0.75 \). В треугольнике BOC, \( \text{tg } \triangle OBC = \frac{OC}{OB} \).

Отсюда, \( OB = \frac{OC}{\text{tg } \triangle BCA} = \frac{4}{0.75} = \frac{4}{3/4} = 4 \times \frac{4}{3} = \frac{16}{3} \).

Теперь найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора в треугольнике BOC:

\( BC^2 = OB^2 + OC^2 = (\frac{16}{3})^2 + 4^2 = \frac{256}{9} + 16 = \frac{256 + 144}{9} = \frac{400}{9} \).

\( BC = \frac{20}{3} \).

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен высоте, опущенной из точки пересечения диагоналей на сторону ромба. Эта высота является половиной высоты ромба.

Площадь ромба можно найти двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BD \)
2. \( S = BC \times h \), где h - высота ромба.

Найдём BD:

\( BD = 2 \times OB = 2 \times \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \).

\( S = \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{32}{3} = 4 \times \frac{32}{3} = \frac{128}{3} \).

Теперь найдём высоту ромба h:

\( h = \frac{S}{BC} = \frac{128/3}{20/3} = \frac{128}{20} = \frac{32}{5} = 6.4 \).

Радиус вписанной окружности (r) равен половине высоты ромба:

\( r = \frac{h}{2} = \frac{6.4}{2} = 3.2 \).

Ответ: 3.2