Диагональ АС параллелограмма ABCD образует с боковой стороной CD прямой угол. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что АС = 6√3, а ∠CAD = 30°.

Давай разберем эту задачу по геометрии по шагам. 1. Рассмотрим треугольник ACD: Так как диагональ AC образует прямой угол с CD, треугольник ACD является прямоугольным с ∠ACD = 90° и ∠CAD = 30°. 2. Найдем сторону CD: В прямоугольном треугольнике ACD, катет CD, прилежащий к углу ∠CAD, можно найти, используя косинус этого угла: \[\cos(∠CAD) = \frac{CD}{AC}\] Подставим известные значения: \[\cos(30°) = \frac{CD}{6\sqrt{3}}\] Так как \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем: \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{CD}{6\sqrt{3}}\] Теперь найдем CD: \[CD = 6\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9\] Итак, CD = 9. 3. Найдем сторону AD: В прямоугольном треугольнике ACD, катет AD, противолежащий углу ∠ACD, можно найти, используя синус этого угла: \[\sin(∠CAD) = \frac{CD}{AD}\] Подставим известные значения: \[\sin(30°) = \frac{AC}{AD}\] Так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\), получаем: \[\frac{1}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{AD}\] Теперь найдем AD: \[AD = 6\sqrt{3} \times 2 = 12\sqrt{3}\] 4. Найдем площадь параллелограмма ABCD: Площадь параллелограмма можно найти как произведение его основания на высоту. В данном случае, AD можно взять за основание, а CD – за высоту. \[S_{ABCD} = AD \cdot CD\] Подставим значения: \[S_{ABCD} = 6\sqrt{3} \times 9 = 54\sqrt{3}\]

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 54√3.

Ты молодец! У тебя всё получится!