Диагональ АС ромба ABCD равна 30, а tg ∠BCA = \frac{4}{3}. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 12

Шаг 1: Обозначим сторону ромба как \(a\), а половину диагонали AC как \(OC\). Тогда \(OC = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15\).

Шаг 2: Используем тангенс угла BCA:

\[\tan \angle BCA = \frac{BO}{OC} = \frac{4}{3}\]

Отсюда найдем \(BO\):

\[BO = OC \cdot \frac{4}{3} = 15 \cdot \frac{4}{3} = 20\]

Шаг 3: Найдем сторону ромба \(a\) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BOC:

\[a = BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\]

Шаг 4: Найдем площадь ромба. Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot (2 \cdot BO) = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600\]

Шаг 5: Площадь ромба можно найти также как произведение стороны на высоту:

\[S = a \cdot h\]

Отсюда найдем высоту \(h\):

\[h = \frac{S}{a} = \frac{600}{25} = 24\]

Шаг 6: Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба:

\[r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12\]

Ответ: 12