6 Диагональ АС ромба АBCD равна 6, a tgBCA = \frac{4}{3}. Найдите радиус окр кности, вписанной в ромб.

1. Шаг 1: Найдем сторону ромба.

   Обозначим сторону ромба как a, а половину диагонали AC как AO, тогда AO = 3.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB. Тангенс угла BCA равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть:

   \[tg\angle BCA = \frac{BO}{AO}\]

   Отсюда:

   \[BO = AO \cdot tg\angle BCA = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4\]

   Теперь, зная AO и BO, найдем сторону ромба a по теореме Пифагора:

   \[a = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

2. Шаг 2: Найдем площадь ромба.

   Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

   \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (2 \cdot 4) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\]

3. Шаг 3: Найдем радиус вписанной окружности.

   Площадь ромба также можно найти как произведение стороны на высоту, а высота равна двум радиусам вписанной окружности:

   \[S = a \cdot h = a \cdot 2r\]

   Отсюда:

   \[r = \frac{S}{2a} = \frac{24}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10} = 2.4\]

Ответ: 2.4