Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Диагонали также являются биссектрисами углов ромба.
Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Тогда \( \triangle BOC \) — прямоугольный треугольник.
Дано: \( AC = 28 \), значит \( OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 28 = 14 \).
Дано: \( \text{tg}∠BCA = \frac{24}{7} \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \), \( \text{tg}∠BCA = \frac{BO}{OC} \).
Найдём \( BO \):
\[ \frac{BO}{14} = \frac{24}{7} \]\( BO = \frac{24}{7} \times 14 = 24 \times 2 = 48 \).
Диагональ \( BD = 2 \times BO = 2 \times 48 = 96 \).
Теперь найдём сторону ромба \( BC \) по теореме Пифагора в \( \triangle BOC \):
\[ BC^2 = BO^2 + OC^2 \]\[ BC^2 = 48^2 + 14^2 \]
\[ BC^2 = 2304 + 196 = 2500 \]
\[ BC = √{2500} = 50 \].
Радиус вписанной окружности \( r \) в ромб можно найти по формуле:
\[ r = \frac{\text{Площадь ромба}}{\text{Периметр ромба}} \]Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} AC \times BD = \frac{1}{2} \times 28 \times 96 = 14 \times 96 = 1344 \).
Периметр ромба \( P = 4 \times BC = 4 \times 50 = 200 \).
Радиус \( r \):
\[ r = \frac{1344}{200} = \frac{168}{25} = 6.72 \].Альтернативный способ найти радиус:
В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \) проведём высоту \( OH \) к гипотенузе \( BC \). \( OH \) — это радиус вписанной окружности.
Площадь \( \triangle BOC = \frac{1}{2} BO \times OC = \frac{1}{2} \times 48 \times 14 = 336 \).
Также площадь \( \triangle BOC = \frac{1}{2} BC \times OH \).
\[ 336 = \frac{1}{2} \times 50 \times OH \]\[ 336 = 25 \times OH \]
\[ OH = \frac{336}{25} = 13.44 \].Ответ: Радиус вписанной окружности равен 6.72.
