Диагональ АС ромба ABCD равна 30, а tgBCA = 3/4. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть O - точка пересечения диагоналей. В прямоугольном треугольнике BOC, tg(BCA) = OB/OC = 3/4. Так как AC = 30, то OC = AC/2 = 15. Тогда OB = (3/4)*OC = (3/4)*15 = 45/4. Диагональ BD = 2*OB = 2*(45/4) = 45/2. Сторона ромба AB = sqrt(OB^2 + OC^2) = sqrt((45/4)^2 + 15^2) = sqrt(2025/16 + 225) = sqrt((2025 + 3600)/16) = sqrt(5625/16) = 75/4. Площадь ромба S = (1/2)*AC*BD = (1/2)*30*(45/2) = 675/2. Радиус вписанной окружности r = S/a = (675/2) / (75/4) = (675/2) * (4/75) = 2700/150 = 18.
Ответ: 18