31. Диагональ АС ромба ABCD равна 48, a tg BCA=7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Ответ: 336/25 = 13.44

Пусть диагонали ромба пересекаются в точке О. Рассмотрим треугольник BOC, где угол BOC прямой.

Дано: AC = 48, следовательно, OC = AC/2 = 48/2 = 24.

Также дано: tg(BCA) = 7/24.

Тангенс угла BCA равен отношению противолежащего катета (BO) к прилежащему катету (OC), то есть

\[tg(BCA) = \frac{BO}{OC}\]

\[\frac{7}{24} = \frac{BO}{24}\]

\[BO = 7\]

Теперь найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора из треугольника BOC:

\[BC^2 = BO^2 + OC^2\]

\[BC^2 = 7^2 + 24^2\]

\[BC^2 = 49 + 576\]

\[BC^2 = 625\]

\[BC = \sqrt{625} = 25\]

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\]

Так как BD = 2 \(\cdot\) BO = 2 \(\cdot\) 7 = 14, то

\[S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336\]

Радиус вписанной окружности в ромб равен отношению площади к половине периметра:

\[r = \frac{S}{p}\]

где p - полупериметр ромба.

Так как все стороны ромба равны, периметр P = 4 \(\cdot\) BC = 4 \(\cdot\) 25 = 100, следовательно, полупериметр p = P/2 = 100/2 = 50.

Тогда радиус вписанной окружности равен:

\[r = \frac{336}{25} = 13.44\]

Ответ: 336/25 = 13.44