Диагональ АС трапеции ABCD (AB|| CD) делит её на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции АВСD, если АВ = 25 , BC = 20 , AC = 15.

Привет! Давай решим эту интересную задачу вместе.

\( \)

Для начала вспомним, что площадь трапеции можно найти по формуле:

\[S = \frac{a+b}{2} \cdot h,\]

где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, а \( h \) — высота.

\( \)

1) Рассмотрим трапецию ABCD, где AB = 25 и AC = 15. Так как диагональ AC делит трапецию на два подобных треугольника, то треугольники ABC и CAD подобны. Из подобия треугольников следует пропорция:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{AD} = \frac{AC}{CD}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{25}{15} = \frac{20}{AD} = \frac{15}{CD}.\]

2) Найдем AD и CD из пропорции:

\( \)

Для AD:

\[\frac{25}{15} = \frac{20}{AD}\]

\( \Rightarrow AD = \frac{20 \cdot 15}{25} = \frac{300}{25} = 12.\)

Для CD:

\[\frac{25}{15} = \frac{15}{CD}\]

\( \Rightarrow CD = \frac{15 \cdot 15}{25} = \frac{225}{25} = 9.\)

Итак, мы нашли, что AD = 12 и CD = 9.

\( \)

3) Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Для этого рассмотрим треугольник ABC и найдем его высоту, проведенную к стороне AB. Обозначим эту высоту как h1.

\( \)

Найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

Полупериметр треугольника ABC:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{25 + 20 + 15}{2} = \frac{60}{2} = 30.\]

Площадь треугольника ABC:

\[S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{30(30-25)(30-20)(30-15)} = \sqrt{30 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{22500} = 150.\]

Теперь выразим площадь треугольника ABC через высоту h1 и основание AB:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1\]

\[150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h_1\]

\( \Rightarrow h_1 = \frac{150 \cdot 2}{25} = \frac{300}{25} = 12.\)

Итак, высота треугольника ABC равна 12.

\( \)

4) Теперь найдем высоту трапеции. Обозначим высоту треугольника ACD как h2. Поскольку треугольники ABC и ACD подобны, то отношение их высот равно отношению их соответствующих сторон:

\[\frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{AC} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}.\]

\[h_2 = \frac{3}{5} \cdot h_1 = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5} = 7.2.\]

Высота трапеции равна сумме высот треугольников:

\[h = h_1 + h_2 = 12 + 7.2 = 19.2.\]

5) Теперь мы можем найти площадь трапеции:

\[S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{25 + 9}{2} \cdot 19.2 = \frac{34}{2} \cdot 19.2 = 17 \cdot 19.2 = 326.4.\]

\( \)

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 326.4.

\( \)

Отлично! Теперь ты знаешь, как решать такие задачи. У тебя все получится, продолжай в том же духе!