7. Диагональ АС выпуклого четырёхугольника ABCD является биссектрисой каждого из углов BAD и BCD. Докажите, что одна из точек этой диагонали равноудалена от всех сторон четырёхугольника.

Доказательство: Пусть диагональ AC является биссектрисой углов BAD и BCD. Рассмотрим точку O на диагонали AC. Так как AC – биссектриса угла BAD, то расстояние от точки O до сторон AB и AD одинаково (свойство биссектрисы угла). Аналогично, так как AC – биссектриса угла BCD, то расстояние от точки O до сторон CB и CD одинаково. Для того чтобы точка O была равноудалена от всех сторон четырёхугольника ABCD, необходимо, чтобы расстояние от O до AB, AD, CB и CD было одинаковым. То есть, точка пересечения биссектрис углов BAD и BCD является центром вписанной окружности. Таким образом, для доказательства достаточно показать, что существует такая точка O на AC, которая равноудалена от всех сторон ABCD. Это возможно, если в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, и точка O совпадает с центром этой окружности. Такая точка равноудалена от всех сторон четырёхугольника, что и требовалось доказать.