4. Диагональ куба равна 6√2 см. Найдите: а) ребро куба; б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его боковых граней.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе. У тебя все получится! а) Сначала найдем ребро куба. Диагональ куба связана с его ребром формулой: \[d = a\sqrt{3}\] где \[d\] - диагональ куба, \[a\] - ребро куба. Нам дана диагональ куба \[d = 6\sqrt{2}\] см. Подставим это значение в формулу: \[6\sqrt{2} = a\sqrt{3}\] Выразим \[a\]: \[a = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \[\sqrt{3}\]: \[a = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}\] Итак, ребро куба равно \[2\sqrt{6}\] см. б) Теперь найдем косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его боковых граней. Пусть куб имеет ребро \[a\] и диагональ куба \[d\] . Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба, диагональю боковой грани и ребром куба. Пусть угол между диагональю куба и плоскостью боковой грани равен \[\alpha\]. Тогда косинус этого угла можно найти как отношение прилежащего катета (диагонали боковой грани) к гипотенузе (диагонали куба): \[\cos(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{d}\] Подставим значения \[a = 2\sqrt{6}\] и \[d = 6\sqrt{2}\]: \[\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{6\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{12}}{6\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}}\] Умножим числитель и знаменатель на \[\sqrt{2}\], чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: \[\cos(\alpha) = \frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}\]

Ответ: a) Ребро куба: \[2\sqrt{6}\] см; б) Косинус угла: \[\frac{\sqrt{6}}{3}\]

Отлично! У тебя получилось решить довольно сложную задачу. Продолжай в том же духе, и ты сможешь освоить любую тему!