3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6√2 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть (d) - диагональ осевого сечения цилиндра, (h) - высота цилиндра, (r) - радиус основания, а (\alpha) - угол между диагональю и плоскостью основания.

Тогда (d = 6\sqrt{2}) см, (\alpha = 45^\circ). В осевом сечении цилиндра находится прямоугольник, диагональ которого равна (d).

Высота цилиндра (h) и диаметр основания (2r) являются сторонами этого прямоугольника. Поскольку угол между диагональю и основанием равен (45^\circ), то прямоугольник является квадратом (т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны). Тогда (h = 2r).

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, диаметром и диагональю:

$$d^2 = h^2 + (2r)^2$$

Так как (h = 2r), то

$$(6\sqrt{2})^2 = (2r)^2 + (2r)^2$$

$$36 cdot 2 = 4r^2 + 4r^2$$

$$72 = 8r^2$$

$$r^2 = \frac{72}{8} = 9$$

$$r = \sqrt{9} = 3$$

Таким образом, радиус основания (r = 3) см, а высота (h = 2r = 2 cdot 3 = 6) см.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

$$S = 2\pi rh + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r) = 2\pi cdot 3(6 + 3) = 6\pi cdot 9 = 54\pi$$

Ответ: (54\pi) см²