Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и наклонена к плоскости его основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

1. Находим высоту цилиндра (H):

Диагональ осевого сечения, высота цилиндра и диаметр основания образуют прямоугольный треугольник. Диагональ является гипотенузой, а высота и диаметр — катетами. Угол между диагональю и основанием равен 60°.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \sin(60^°) = \frac{H}{12} \]

Зная, что \( \sin(60^°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{H}{12} \]

Отсюда высота цилиндра:

\[ H = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

2. Находим диаметр основания (D):

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(60^°) = \frac{D}{12} \]

Зная, что \( \cos(60^°) = \frac{1}{2} \), получаем:

\[ \frac{1}{2} = \frac{D}{12} \]

Отсюда диаметр основания:

\[ D = 12 \times \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]

3. Находим радиус основания (R):

\[ R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]

4. Находим площадь боковой поверхности цилиндра (Sбок):

Формула площади боковой поверхности цилиндра:

\[ S_{бок} = 2 \pi R H \]

Подставляем найденные значения:

\[ S_{бок} = 2 \pi \times 3 \text{ см} \times 6\sqrt{3} \text{ см} = 36\sqrt{3}\pi \text{ см}^2 \]

Ответ:

$$36\sqrt{3}\pi$$ см²