Диагональ параллелограмма разделили на три равные части. Докажи, что полученные точки деления и две другие его вершины образуют еще один параллелограмм.

Пусть дан параллелограмм ABCD, и точки M и N делят диагональ AC на три равные части: AM = MN = NC. Нужно доказать, что вершины B и D, а также точки M и N образуют параллелограмм MBND.

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. У него противоположные стороны равны и параллельны, то есть AB = CD и AB || CD, а также BC = AD и BC || AD.

2. Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника: ΔABC = ΔCDA.

3. Так как AM = MN = NC, то AN = AM + MN = 2AM и MC = MN + NC = 2AM.

Следовательно, AN = MC.

4. Рассмотрим четырехугольник MBND. Соединим точки M и N с вершинами B и D соответственно.

5. Так как AN = MC и BC || AD, то BN || MD.

6. Треугольники ΔABN и ΔCDM равны по двум сторонам и углу между ними (AB = CD, AN = MC, ∠BAC = ∠DCA как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

Следовательно, BN = MD.

7. Так как в четырехугольнике MBND противоположные стороны BN и MD равны и параллельны, то MBND является параллелограммом.

Доказано.