2. Диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть x и y — стороны прямоугольника, а d — его диагональ. Тогда, согласно условию задачи, можно записать следующие уравнения:

$$d = x + 8$$

$$d = y + 4$$

По теореме Пифагора, для прямоугольника выполняется равенство:

$$x^2 + y^2 = d^2$$

Выразим x и y через d из первых двух уравнений:

$$x = d - 8$$

$$y = d - 4$$

Подставим эти выражения в уравнение, основанное на теореме Пифагора:

$$(d - 8)^2 + (d - 4)^2 = d^2$$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$$d^2 - 16d + 64 + d^2 - 8d + 16 = d^2$$

$$d^2 - 24d + 80 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно d. Дискриминант равен:

$$D = (-24)^2 - 4 cdot 1 cdot 80 = 576 - 320 = 256$$

Тогда корни уравнения:

$$d_1 = rac{24 + sqrt{256}}{2} = rac{24 + 16}{2} = 20$$

$$d_2 = rac{24 - sqrt{256}}{2} = rac{24 - 16}{2} = 4$$

Поскольку d должно быть больше 8 (из условия d = x + 8), то d = 20 см.

Теперь найдем стороны прямоугольника:

$$x = d - 8 = 20 - 8 = 12 ext{ см}$$

$$y = d - 4 = 20 - 4 = 16 ext{ см}$$

Ответ: Стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.