Диагональ прямоугольника образует угол 50° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагональ AC образует угол \( \angle BAC = 50^{\circ} \) со стороной AB.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник AOB. \( AO = BO \), значит, треугольник AOB — равнобедренный.

Угол \( \angle ABC = 90^{\circ} \) (так как это угол прямоугольника).

В треугольнике ABC, \( \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle ACD \) являются накрест лежащими при параллельных сторонах AB и CD и секущей AC, поэтому \( \angle BAC = \angle ACD = 50^{\circ} \).

Углы \( \angle CAD \) и \( \angle ACB \) являются накрест лежащими при параллельных сторонах AD и BC и секущей AC, поэтому \( \angle CAD = \angle ACB = 40^{\circ} \).

Рассмотрим угол между диагоналями. Это углы \( \angle AOB \) и \( \angle BOC \).

В треугольнике AOB, \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABO \). Так как \( AO=BO \), то \( \angle BAC = \angle ABO = 50^{\circ} \). Следовательно, \( \angle AOB = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 50^{\circ} = 80^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) смежный с \( \angle AOB \), поэтому \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Острый угол между диагоналями — это \( 80^{\circ} \).

Альтернативный способ:

Рассмотрим треугольник AOB. \( AO = BO \) (диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам). Следовательно, \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Угол \( \angle BAC = 50^{\circ} \) (по условию).

Так как \( \triangle AOB \) равнобедренный, то \( \angle ABO = \angle BAC = 50^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle AOB \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABO) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).

Угол \( \angle BOC \) смежный с \( \angle AOB \), значит \( \angle BOC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).

Острый угол между диагоналями равен \( 80^{\circ} \).

Ответ: 80.