Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим вершины прямоугольника как A, B, C, D, а точку пересечения диагоналей как O.

Пусть диагональ AC образует угол 51° со стороной AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ ABC \). Угол \( △CAB = 51° \).

Второй острый угол этого треугольника, \( △BCA \), равен \( 90° - 51° = 39° \).

Диагонали прямоугольника равны \( AC = BD \). Точка O — середина обеих диагоналей. Поэтому \( AO = OC = BO = OD \).

Рассмотрим треугольник \( △ BOC \). Он равнобедренный, так как \( BO = OC \). Угол \( △OCB = △BCA = 39° \).

Угол \( △ BOC \) является внешним углом для треугольника \( △ ABC \), поэтому он равен сумме двух углов: \( △CAB + △CBA = 51° + 90° = 141° \) — это тупой угол.

В равнобедренном треугольнике \( △ BOC \) углы при основании равны, поэтому \( △OBC = △OCB = 39° \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Угол \( △ BOC = 180° - (39° + 39°) = 180° - 78° = 102° \). Это тупой угол между диагоналями.

Острый угол между диагоналями будет смежным с тупым углом:

\( 180° - 102° = 78° \).

Ответ: 78.