Диагональ прямоугольника образует угол 61° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в точке, которая делит их пополам. Пусть \( AC \) и \( BD \) — диагонали прямоугольника \( ABCD \), пересекающиеся в точке \( O \). Диагональ \( AC \) образует угол \( 61^{\circ} \) с одной из сторон, например, со стороной \( AB \). Тогда \( \angle BAC = 61^{\circ} \).

В прямоугольнике \( \angle ABC = 90^{\circ} \). В треугольнике \( ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \), значит, \( \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 61^{\circ} = 29^{\circ} \).

Поскольку диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, \( AO = BO = CO = DO \). Рассмотрим треугольник \( ABO \). Он равнобедренный, так как \( AO = BO \). Углы при основании равны, значит, \( \angle OAB = \angle OBA \).

Мы знаем, что \( \angle BAC = 61^{\circ} \), и \( \angle OAB = \angle BAC \), так как \( O \) лежит на \( AC \). Следовательно, \( \angle OBA = 61^{\circ} \).

Угол \( \angle AOB \) — это один из углов между диагоналями. Сумма углов в треугольнике \( ABO \) равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (61^{\circ} + 61^{\circ}) = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \]

Угол \( \angle AOB \) является острым углом между диагоналями.

Ответ: 58.