Диагональ прямоугольника образует угол 70° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть дан прямоугольник ABCD. Диагональ AC образует угол 70° с одной из сторон, например, с AB. В прямоугольном треугольнике ABC, угол BAC = 70°.

Так как в прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то треугольники, образованные диагоналями и сторонами, равнобедренные.

В треугольнике ABC: \( ∠ABC = 90^\circ \). Угол BCA = \( 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ \).

Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольник AOB. Угол BAC = 70°. Угол ABD = Угол BCA = 20° (как накрест лежащие при параллельных сторонах AB и CD и секущей BD). Тогда в треугольнике AOB: \( ∠OAB = 70^\circ \), \( ∠OBA = 20^\circ \).

Угол между диагоналями (угол AOB) равен \( 180^\circ - (∠OAB + ∠OBA) \).

1. Угол AOB = \( 180^\circ - (70^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
2. Угол между диагоналями может быть острым или тупым. Угол AOB = 90°. Смежный с ним угол (например, BOC) равен \( 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \).
3. В данном случае острый угол равен 90°.

Ответ: 40.