7. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть длина прямоугольника будет a, а ширина будет b. Тогда периметр прямоугольника равен 2(a+b), и по условию задачи имеем:

\[2(a+b) = 28\]

Диагональ прямоугольника равна 10 см. По теореме Пифагора, связывающей стороны прямоугольника и его диагональ, имеем:

\[a^2 + b^2 = 10^2\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}\]

Выразим a через b из первого уравнения:

\[a = 14 - b\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(14-b)^2 + b^2 = 100\]

Раскроем скобки:

\[196 - 28b + b^2 + b^2 = 100\]

Приведем подобные слагаемые:

\[2b^2 - 28b + 96 = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[b^2 - 14b + 48 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4\]

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

\[b_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = 8\] \[b_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = 6\]

Если b = 8, то a = 14 - 8 = 6.

Если b = 6, то a = 14 - 6 = 8.

В обоих случаях получаем, что одна сторона равна 6 см, а другая 8 см. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[S = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48 \text{ см}^2\]

Ответ: 48 см²

Отличная работа! Ты справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и все получится!