Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

Пусть $$d$$ - диагональ параллелепипеда, $$a, b, c$$ - его измерения. $$d = 18$$ см. Угол с боковым ребром $$c$$ равен $$45^\circ$$, значит, $$c = d \cos(45^°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$$ см. Проекция диагонали на плоскость основания равна $$d \sin(45^°) = 9\sqrt{2}$$ см. Эта проекция является диагональю основания. Угол между диагональю основания и плоскостью боковой грани, содержащей ребро $$a$$, равен $$30^°$$. Диагональ основания $$d_{base} = \sqrt{a^2 + b^2}$$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю основания, ребром $$b$$ и диагональю параллелепипеда, угол между диагональю основания и ребром $$b$$ равен $$90^° - 45^° = 45^°$$. Следовательно, $$a = d_{base} \cos(45^°) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9$$ см и $$b = d_{base} \sin(45^°) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9$$ см. Объём $$V = abc = 9 \cdot 9 \cdot 9\sqrt{2} = 729\sqrt{2}$$ см$$^3$$.
Ответ: $$729\sqrt{2}$$ см$$^3$$.