Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, AB = CD - боковые стороны, AC - диагональ. Из условия задачи известно, что AC перпендикулярна CD и BC = CD.

1) Рассмотрим треугольник ACD. Так как AC перпендикулярна CD, то угол ACD = 90°. Пусть угол CAD = α. Тогда угол ADC = 90° - α.

2) Рассмотрим треугольник ABC. Так как BC = AB (по условию, BC = CD и AB = CD, следовательно, BC = AB), то треугольник ABC - равнобедренный. Угол BAC = углу BCA. Угол ABC = 180° - 2 * угол BCA.

3) В равнобокой трапеции углы при одном основании равны. Следовательно, угол ADC = углу BCD = 90° - α. И угол BAD = углу ABC. Угол BCD состоит из двух углов: BCA и ACD. Так как угол ACD = 90°, то угол BCA = (90° - α) - 90°.

Угол BCD = углу BCA + углу ACD => угол BCA = угол BCD - угол ACD = (90° - α) - угол BCA. Значит, угол BCA = 90° - α - угол BCA.

4) Так как ABCD - равнобокая трапеция, то угол BAD = углу ABC. Угол BAD = α, угол ABC = 180° - 2 * угол BCA.

Следовательно, α = 180° - 2 * (90° - α). Решим уравнение относительно α: α = 180° - 180° + 2α => α = 2α => α = 0.

5) Угол BAC = углу BCA = (180° - (90°-α))/2.

Сумма углов трапеции равна 360°. Углы BAD и ADC в сумме равны 180°. Углы ABC и BCD в сумме равны 180°.

Пусть угол BCA = x. Тогда угол BAC = x. Следовательно угол ABC = 180 - 2x.

Угол BCD = углу BCA + углу ACD = x + 90.

Угол ABC + угол BCD = 180. 180 - 2x + x + 90 = 180. 270 - x = 180. x = 90.

Тогда угол BCA = 30°. Следовательно угол ABC = 180 - 2 * 30 = 120.

Угол ADC = 90 - 30 = 60. Следовательно угол BAD = 120.

Углы трапеции: углы при большем основании равны 60°, углы при меньшем основании равны 120°.

Ответ: Углы трапеции равны 60°, 60°, 120°, 120°.