Диагональ равнобокой трапеции равна 10,3 и образует угол, равный 60°, с основанием трапеции. Найдите сумму оснований трапеции.

Обозначим равнобокую трапецию ABCD, где AD и BC - основания, AB = CD, и диагональ AC = 10.3, ∠CAD = 60°.

Проведем высоту CH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём ∠CAH = 60°.

Выразим AH через AC:

$$AH = AC \cdot cos(60^\circ) = 10.3 \cdot \frac{1}{2} = 5.15$$

По свойству равнобокой трапеции, если опустить высоты из вершин B и C на основание AD (пусть основания этих высот будут K и H соответственно), то AH = KD, и AD = AK + KH + HD, где KH = BC, следовательно AD = AK + BC + HD, а так как AK = HD, то AD = BC + 2AH.

Значит, AD - BC = 2AH = 2 \cdot 5.15 = 10.3

Рассмотрим треугольник AKC. Проведем диагональ KD. Получается параллелограмм AKCD, тогда KC=AD=10.3. Поскольку трапеция равнобедренная KD=AC=10.3.

Рассмотрим треугольник KCD. Он равносторонний. Следовательно AD=KC=CD=10.3, KD=10.3, ∠KDA=60°.

Сумма оснований AD + BC = AD + (AD - 10.3) = 10.3 + (10.3 - 10.3) = 10.3

Сумма оснований равна:

$$AD+BC=AK+KD+BC=BC+2AH+BC=2BC+2AH$$

Сумма оснований равна 10,3+10,3 = 20,6

Сумма оснований AD + BC = 10.3 + (10.3 - 10.3) = 10.3

Рассмотрим треугольник AKD: AD=AK+KD=BC+KD. Из рисунка видно что AK = 1/2 AD, поскольку угол KAD = 60 градусов.

AD = AK + KD = BC + 10.3 = 10.3

Так как AK=HD, то AD-BC=2*AH= 2 * 10.3 * cos60=10.3, то AD=BC+10.3.

Тогда AD+BC=BC+10.3+BC = 2BC+10.3

AK = AC cos 60 = 10.3 * 1/2 = 5.15

Сумма оснований трапеции равна AD + BC = AK + KD + BC, где KD = 10.3. Так как KD=AH = 5.15, то AD = BC + 2AH

Следовательно сумма оснований AD + BC = AD + (AD -10.3) = 20.6

Ответ: сумма оснований равна 20.6.