Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции.

Обозначим большее основание через \(AB=8\) см, меньшее — через \(DC=5\) см, а боковую сторону — через \(AD=BC=x\) см. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Поскольку трапеция равнобокая, разность оснований распределяется поровну: горизонтальная проекция боковой стороны равна \((8-5):2=1.5\) см.

Рассмотрим острый угол при вершине \(A\). Так как диагональ является его биссектрисой, точка \(C\) на биссектрисе равноудалена от сторон угла. Расстояние от \(C\) до прямой \(AB\) равно высоте трапеции. Расстояние от \(C\) до прямой \(AD\) также равно высоте, умноженной на отношение горизонтального смещения точки \(C\) от прямой \(AD\) к длине боковой стороны. Из равенства этих расстояний следует, что горизонтальная проекция \(AC\) равна \(x+1.5\).

Но горизонтальная проекция диагонали \(AC\) равна \(8-1.5=6.5\) см. Поэтому \(x+1.5=6.5\), откуда \(x=5\) см.

Тогда периметр равен \(8+5+5+5=23\) см.

Ответ: 23 см.