2. Диагональ TЅ ромба TCSD равна 128, а tg ∠CST-0.75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Разбираемся:

1. Из условия TS = 128, значит, половина этой диагонали равна 64.

2. Тангенс угла CST равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В данном случае: \[tg \angle CST = \frac{CT}{ST} = 0.75 = \frac{3}{4}\]. Т.к. ST - половина диагонали, то ST = 64, тогда:

   \[\frac{CT}{64} = \frac{3}{4} \Rightarrow CT = \frac{3 \cdot 64}{4} = 48\]

   Таким образом, вторая половина диагонали равна 48, а вся диагональ CD = 96.

3. Площадь ромба равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot 128 \cdot 96 = 64 \cdot 96\]

4. Найдем сторону ромба a. Т.к. диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам, то можно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:

   \[a = \sqrt{64^2 + 48^2} = \sqrt{4096 + 2304} = \sqrt{6400} = 80\]

5. Полупериметр равен: \[P/2 = \frac{4 \cdot 80}{2} = 160\]

6. И радиус равен: \[r = \frac{S}{p} = \frac{64 \cdot 96}{160} = 38.4\]

Радиус вписанной окружности: \[r = \frac{S}{p} = \frac{1/2 \cdot 128 \cdot 96}{160} = \frac{6144}{160} = 38.4\]