121. Диагональ трапеции делит её среднюю линию на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно 6 см.

Обозначим меньший отрезок средней линии за x, тогда больший будет x + 5. Вся средняя линия равна сумме этих отрезков: x + (x + 5) = 2x + 5.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{a + b}{2}$$, где a и b — основания трапеции.

Пусть меньшее основание (a) равно 6 см, большее основание (b) неизвестно. Тогда средняя линия равна: $$\frac{6 + b}{2}$$.

Приравняем два выражения для средней линии: $$2x + 5 = \frac{6 + b}{2}$$.

Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки, пропорциональные основаниям. Пусть x соответствует меньшему основанию, а x + 5 — большему: $$\frac{x}{6} = \frac{x + 5}{b}$$.

Выразим b из второго уравнения: $$b = \frac{6(x + 5)}{x}$$.

Подставим это в первое уравнение: $$2x + 5 = \frac{6 + \frac{6(x + 5)}{x}}{2}$$.

Упростим: $$2x + 5 = \frac{6 + \frac{6x + 30}{x}}{2}$$.

$$2x + 5 = \frac{\frac{6x + 6x + 30}{x}}{2}$$.

$$2x + 5 = \frac{12x + 30}{2x}$$.

$$2x(2x + 5) = 12x + 30$$.

$$4x^2 + 10x = 12x + 30$$.

$$4x^2 - 2x - 30 = 0$$.

$$2x^2 - x - 15 = 0$$.

Решим квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$$.

$$x_1 = \frac{1 + \sqrt{121}}{4} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$$.

$$x_2 = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$. (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, x = 3 см. Тогда $$b = \frac{6(3 + 5)}{3} = \frac{6 \cdot 8}{3} = 2 \cdot 8 = 16$$.

Ответ: Большее основание трапеции равно 16 см.