Диагональ трапеции делите её среднюю линию на два отрезка так, что один из них в 2 раза больше другого. Найдите меньшее основание трапеции, если средняя линия равна 18.

Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ \text{Ср. линия} = \frac{a + b}{2}, \] где \(a\) и \(b\) \(a < b\) — основания трапеции. Согласно условиям, диагональ делит среднюю линию на два отрезка, один из которых в 2 раза больше другого. Пусть меньший отрезок равен \(x\), тогда больший отрезок равен \(2x\). Средняя линия равна сумме этих отрезков: \[ \text{Ср. линия} = x + 2x = 3x. \] Подставим значение средней линии: \[ 3x = 18 \Rightarrow x = 6. \] Таким образом, меньший отрезок равен \(6\), больший отрезок равен \(12\). Средняя линия выражается через основания трапеции: \[ \text{Ср. линия} = \frac{a + b}{2} = 18 \Rightarrow a + b = 36. \] Диагональ делит среднюю линию, и эти отрезки соответствуют основаниям трапеции, то есть \(a = 6\) и \(b = 12\). Ответ: Меньшее основание трапеции равно \(6\).