Диагонали \(AC\) и \(BD\) трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) пересекаются в точке \(O\), \(BC = 6\), \(AD = 13\), \(AC = 38\). Найдите \(AO\).

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\), диагонали которой пересекаются в точке \(O\).

1) Рассмотрим \(\triangle BOC\) и \(\triangle DOA\). У них \(\angle BOC = \angle DOA\) как вертикальные, \(\angle BCO = \angle DAO\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\). Значит, \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\) по двум углам.

2) Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{CO}{AO}$$

Подставим известные значения: \(BC = 6\), \(AD = 13\).

$$\frac{6}{13} = \frac{CO}{AO}$$

Пусть \(CO = 6x\), тогда \(AO = 13x\). Известно, что \(AC = AO + CO = 38\).

3) Составим уравнение:

\(13x + 6x = 38\) \(19x = 38\) \(x = 2\)

4) Найдем \(AO\):

\(AO = 13x = 13 \cdot 2 = 26\)

Ответ: 26