Диагонали А1А6 и А2А9 правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треугольники А1А2В и А6А7В равносторонние; б) А1А6 = 2г, где г - радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

a) Углы при центре двенадцатиугольника равны 360°/12 = 30°. Центральный угол А1ОА2 = 30°. Треугольник А1ОА2 равнобедренный (ОА1=ОА2=R). Углы при основании равны (180°-30°)/2 = 75°. Угол А1ВА2 = 180° - (угол ВА1А2 + угол ВА2А1). Угол ВА1А2 = 75°, угол ВА2А1 = 75°. Угол А1ВА2 = 180° - (75°+75°) = 30°. Аналогично для А6А7В. Так как углы при вершине В равны 30°, а углы при основании равны 75°, то треугольники не равносторонние. Возможно, в условии опечатка и речь идет о других диагоналях или точках. б) Диагональ А1А6 проходит через центр окружности. Длина А1А6 равна двум радиусам описанной окружности (2R). Радиус вписанной окружности r = R * cos(15°). Следовательно, А1А6 = 2R, а не 2r.