135. Диагонали АС и BD трапеции АBCD c основаниями ВС и AD пересекаются в точке O, BC=11, AD=15, AC=52. Найдите АО.

Пусть дана трапеция ABCD, BC || AD, AC ∩ BD = O. BC = 11, AD = 15, AC = 52. Найти AO.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Угол BOC = углу DOA как вертикальные, угол BCO = углу DAO как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует:

$$ \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} $$

Пусть AO = x, тогда CO = AC - AO = 52 - x. Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{52 - x}{x} = \frac{11}{15} $$

Решим полученное уравнение:

$$ 15(52 - x) = 11x $$ $$ 780 - 15x = 11x $$ $$ 26x = 780 $$ $$ x = 30 $$

Следовательно, AO = 30.

Ответ: 30