Диагонали параллелограмма \(ADEF\) пересекаются в точке \(O\). Точка \(K\) лежит на стороне \(AF\) так, что \(AK : KF = 1 : 2\). Точка \(M\) лежит на стороне \(EF\) так, что \(EM : MF = 2 : 3\). Выразите вектор \(KM\) через векторы \(OA\) и \(OF\). 1. \[\frac{19}{15} \overrightarrow{OA} - \frac{1}{15} \overrightarrow{OF}\] 2. \[-\frac{1}{15} \overrightarrow{OA} - \frac{19}{15} \overrightarrow{OF}\] 3. \[\frac{19}{15} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{15} \overrightarrow{OF}\] 4. \[-\frac{16}{15} \overrightarrow{OA} + \frac{6}{15} \overrightarrow{OF}\] 5. \[-\frac{7}{6} \overrightarrow{OA} - \frac{1}{6} \overrightarrow{OF}\] 6. \[-\frac{7}{6} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{6} \overrightarrow{OF}\]

• Так как \(AK:KF = 1:2\), то \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AF}\)
• Так как \(EM:MF = 2:3\), то \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{AE} + \frac{2}{5} \overrightarrow{EF}\)

Решение:

1. Выразим \(\overrightarrow{KM}\) через \(\overrightarrow{KA}\) и \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AM} \]
2. Подставим известные выражения для \(\overrightarrow{AK}\) и \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{KM} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AE} + \frac{2}{5} \overrightarrow{EF} \]
3. Выразим \(\overrightarrow{AF}\) и \(\overrightarrow{AE}\) через \(\overrightarrow{OF}\) и \(\overrightarrow{OA}\): \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{OA} \] \[ \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OA} \]
4. Подставим эти выражения в формулу для \(\overrightarrow{KM}\): \[ \overrightarrow{KM} = -\frac{1}{3} (\overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OA}) - \overrightarrow{OA} + \frac{2}{5} (\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OA}) \]
5. Раскроем скобки и упростим выражение: \[ \overrightarrow{KM} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{OF} + \frac{1}{3} \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OA} + \frac{2}{5} \overrightarrow{OF} + \frac{2}{5} \overrightarrow{OA} \] \[ \overrightarrow{KM} = (\frac{1}{3} - 1 + \frac{2}{5}) \overrightarrow{OA} + (-\frac{1}{3} + \frac{2}{5}) \overrightarrow{OF} \] \[ \overrightarrow{KM} = (\frac{5 - 15 + 6}{15}) \overrightarrow{OA} + (\frac{-5 + 6}{15}) \overrightarrow{OF} \] \[ \overrightarrow{KM} = -\frac{4}{15} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{15} \overrightarrow{OF} \]