Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Question

Вопрос:

Фото задания: Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются…

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырёхугольник A₁B₁C₁D₁, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Accepted Answer

Так как ABCD — параллелограмм, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка O является серединой отрезков AC и BD:

\(OA=OC\) и \(OB=OD\).

По условию точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) — середины отрезков \(OA\), \(OB\), \(OC\), \(OD\) соответственно. Поэтому

\(OA_1=\dfrac{OA}{2}\), \(OC_1=\dfrac{OC}{2}\), откуда \(OA_1=OC_1\); аналогично \(OB_1=OD_1\).

Точки \(A_1\) и \(C_1\) лежат на одной прямой с точкой \(O\), а точки \(B_1\) и \(D_1\) — на другой. Значит, отрезки \(A_1C_1\) и \(B_1D_1\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам.

Следовательно, диагонали четырёхугольника \(A_1B_1C_1D_1\) взаимно делятся пополам. По признаку параллелограмма этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: \(A_1B_1C_1D_1\) — параллелограмм.