Диагонали параллелограмма равны 9 и 12, а его площадь равна 54. Найдите стороны параллелограмма.

Дано:

• Диагонали параллелограмма: d1 = 9, d2 = 12
• Площадь параллелограмма: S = 54

Решение:

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:

• \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha) \]

где \(\alpha\) - угол между диагоналями. Найдем синус угла:

• \[ 54 = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 \sin(\alpha) \]
• \[ 54 = 54 \sin(\alpha) \]
• \[ \sin(\alpha) = 1 \]
• Следовательно, \(\alpha = 90^{\circ}\). Это означает, что диагонали параллелограмма перпендикулярны, а значит, это ромб.

  В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Стороны ромба можно найти, используя теорему Пифагора в одном из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. Катеты этого треугольника равны половинам диагоналей.

  • Катет 1: \( \frac{9}{2} = 4.5 \)
  • Катет 2: \( \frac{12}{2} = 6 \)

  Пусть сторона ромба равна a. Тогда по теореме Пифагора:

  • \[ a^2 = (4.5)^2 + 6^2 \]
  • \[ a^2 = 20.25 + 36 \]
  • \[ a^2 = 56.25 \]
  • \[ a = \sqrt{56.25} \]
  • \[ a = 7.5 \]

  Так как это ромб, все стороны равны.

  Ответ: Стороны параллелограмма равны 7.5.