Диагонали прямоугольной трапеции ABCD взаимно перпендикулярны. Короткая боковая сторона АВ равна 12 см, длинное основание AD равно 16 см. 1. Определи короткое основание ВС: 2. Найди длины отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения О:

Для решения этой задачи необходимо использовать свойства прямоугольной трапеции и подобия треугольников.

1. Определение короткого основания BC:

В прямоугольной трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Опустим высоту CH на основание AD. Тогда AH = BC, и HD = AD - AH = AD - BC.

Треугольники ABC и BDA подобны, так как углы при основаниях у них прямые, а углы между диагоналями и основаниями равны. Следовательно, имеем пропорцию:

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AB} $$

Подставим известные значения AB = 12 см и AD = 16 см:

$$ \frac{12}{16} = \frac{BC}{12} $$

Решим уравнение для BC:

$$ BC = \frac{12 \cdot 12}{16} = \frac{144}{16} = 9 $$

Таким образом, короткое основание BC = 9 см.

2. Нахождение длин отрезков, на которые делятся диагонали в точке пересечения O:

Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Рассмотрим подобные треугольники BOC и DOA. Коэффициент подобия k равен отношению сторон:

$$ k = \frac{BC}{AD} = \frac{9}{16} $$

Обозначим CO = 9x и AO = 16x, BO = 9y и DO = 16y.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABO и BCO. В треугольнике ABO по теореме Пифагора:

$$ AO^2 + BO^2 = AB^2 $$ $$ (16x)^2 + (9y)^2 = 12^2 $$ $$ 256x^2 + 81y^2 = 144 $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники BCO и DOA. В треугольнике BCO по теореме Пифагора:

$$ CO^2 + BO^2 = BC^2 $$ $$ (9x)^2 + (9y)^2 = 9^2 $$ $$ 81x^2 + 81y^2 = 81 $$

Упростим уравнение:

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

Выразим y^2 из последнего уравнения и подставим в первое уравнение:

$$ y^2 = 1 - x^2 $$ $$ 256x^2 + 81(1 - x^2) = 144 $$ $$ 256x^2 + 81 - 81x^2 = 144 $$ $$ 175x^2 = 63 $$ $$ x^2 = \frac{63}{175} = \frac{9}{25} $$ $$ x = \frac{3}{5} = 0.6 $$

Теперь найдем y:

$$ y^2 = 1 - x^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} $$ $$ y = \frac{4}{5} = 0.8 $$

Теперь найдем длины отрезков:

$$ CO = 9x = 9 \cdot 0.6 = 5.4 \text{ см} $$ $$ AO = 16x = 16 \cdot 0.6 = 9.6 \text{ см} $$ $$ BO = 9y = 9 \cdot 0.8 = 7.2 \text{ см} $$ $$ DO = 16y = 16 \cdot 0.8 = 12.8 \text{ см} $$

Ответ:

1. BC = 9 см

2. CO = 5.4 см, AO = 9.6 см; BO = 7.2 см, DO = 12.8 см.