Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите её острый угол, если угол между диагональю и боковой стороной равен 65°.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD – боковые стороны, а AC и BD – диагонали, AC ⊥ BD.

Угол между диагональю AC и боковой стороной AB равен 65°, то есть ∠BAC = 65°.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть ∠BAD = ∠CDA, ∠ABC = ∠DCB.

Так как диагонали перпендикулярны, они образуют прямой угол при пересечении. Рассмотрим треугольник, образованный диагональю, боковой стороной и основанием (например, ΔABC).

∠BAC = 65°.

Рассмотрим ΔABO, где O – точка пересечения диагоналей. Так как трапеция равнобедренная и диагонали перпендикулярны, ∠AOB = 90°.

В равнобедренной трапеции диагонали являются биссектрисами углов при основании. Следовательно, ∠OAB = ∠OBA = 45°.

Тогда, ∠BAC = ∠BAO + ∠OAC, значит, ∠OAC = ∠BAC - ∠BAO = 65° - 45° = 20°.

Так как ∠CDA = ∠BAD, то искомый острый угол трапеции равен ∠BAD.

∠BAD = ∠BAO + ∠OAD = 45° + ∠OAC + ∠OCD

∠BAD = ∠BAO + ∠OAD = 45° + 20° = 65°

Следовательно, угол BAD = 25 + 45 = 70. (Углы BAC= ABD = 45)

Следовательно, искомый острый угол равен 70 + 45 = 115 град.

Сумма углов четырехугольника равна 360. Углы при основании равны. Значит острый угол равен (360-180)/2

Так как диагонали перпендикулярны, то угол = 90/2 + 65 = 110. Если угол 65 между диагональю и стороной.

Отсюда, угол при основании: $$90^{\circ} / 2 + 65^{\circ} = 45^{\circ} + 65^{\circ} = 110^{\circ}$$.

Другой угол: $$180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$$.

Ответ: острый угол равен 70°.

Ответ: 70.